布尔巴基风格

A. 布尔巴基学派的简介

在1914年到1918年的大战中，德国政府和法国政府对于关系到科学的问题的看法并不一样。德国人让他们的学者去研究科学，通过他们的发现以及对发明或者方法的改进来提高军队的力量，结果这些都有助于德国战斗力的增长。而法国人，至少在战争初期一两年间，认为人人应该上前线，因而年轻的科学家正如其他的法国人一样也到前线服役。这表现一种民主和爱国主义精神，对此我们只能表示敬佩，但是其后果对于年轻的法国科学家来说却是可怕的大屠杀。高等师范院校的优秀学生们有三分之二是被战争毁掉的。20世纪20年代，一些百里挑一的天才人物如魏伊、德尔萨特、嘉当、迪多涅、薛华荔等进入万人竞试的高等师范学校。但他们没有碰到什么年轻教师，而都是些著名的老头子，基础课就是由他们负责教授。这些老头们的确很著名，不过他们只知道他们在20岁或30岁时学的数学，而 对20世纪的数学他们认识得相当模糊。
这个时期，德国数学突飞猛进，涌现了一批第一流的数学家：诺特、西格尔、阿廷、哈塞等等，而法国人还故步自封，对敌国的进展不甚了解，对新兴的莫斯科拓扑学派和波兰的拓扑和泛函分析学派就更是一无所知。而对其他象冯·诺依曼和黎兹的工作也不理解，只知道栖居在自己的函数论的小天地中。在这里，函数论是至尊无上的。不过，法国人中也有代表先进潮流的数学家如e·嘉当；但是，他超出他同时代人的水平20多年，谁也不理解他的工作。（在庞加莱之后，最先理解他的工作的是赫尔曼·外尔，在十年之中，他是唯一理解嘉当的人。）因此除嘉当之外，其他人完全封闭在 函数论当中了，虽然函数论是重要的，但毕竟只代表数学的一部分。
在进入高师的年轻人中，迪多涅，魏伊，亨·嘉当等人，不满足于法兰西数学界的现状，把触角伸向“函数论王国”之外他们深刻认识到了法国数学同世界先进水平的差距。他们痛切感觉到，如果还继续搞这个方向，法国的数学就肯定要走进死胡同。当然，法国数学家在函数论方面仍然可以很出色，但是在数学的其他方面，人们就会忘掉法国的数学家了。这就会使法国的二百多年的传统中断，因为从费尔马到庞加莱这些最伟大的数学家都总是具有博大全才的数学家的名声，他们既能搞算术和代数，又能搞分析和几何。恰恰是这些有远见的青年人，在法国科学全面落后的情况下，使法国数学在第二次世界大战之后又能保持先进水平，而且影响着整个现代数学的发展。可以说，当时打开那些年轻人通往外在世界的通道只有阿达玛的讨论班。阿达玛是法兰西学院的教授。在年初，他把他认为最重要的论著分配给打算在讨论班上做报告的人。在当时这是件新鲜事，但对青年人的提高大有好处。在1934年阿达玛退休之后，g·儒利雅以稍稍不同的方式继续主持这个讨论班。以更系统的方式去研究从所有方向上进来的伟大的思想。这批年轻人决心象范·德·瓦尔登整理代数学那样，从头来起，把整个数学重新整理一遍，以书的形式来概括现代数学的主要思想，而这也正是布尔巴基学派及其主要著作《数学原理》产生的起源。当时，布尔巴基的大多数成员还不到30岁，年纪稍大些的也不过才30出头。假如他们年纪再大一些，知识再多一些，他们也就永远不会开始这项伟大的事业了。布尔巴基的成员以高度的热情开始进行工作。可是20世纪的数学已经发展到这样一个程度，即每一位数学家都必须专业化。也许只有少数象庞加莱和希尔伯特这样的大数学家才能掌握整个数学。而对于普通的数学家，要想对整个领域有一个全面的认识，并能抓住各个分支的内在关系，那是非常困难的。为了达到原来的目标—对数学所有分支中的基本概念加以阐明，然后在此基础上再集中于专门学科，布尔巴基的成员应该对于他所听到的所有东西都有兴趣，并且在一旦需要时，能够写书中的一章，即便那不是他们的专长。因此他们必须从一开始就要忘掉自己的专业。假如他是位狂热专迷的代数学家，说“我只对代数学有兴趣对其它东西一概不感兴趣”，那么他将永远不会成为布尔巴基的成员。布尔巴基所使用的工作方法极为冗长而且艰苦。他们一年举行两三次集会，一旦大家多多少少一致同意要写一本书或者一章论述某种专题，起草的任务就交给布尔巴基中想要担任的人。这样，他就由一个相当泛泛的计划中开始写一章或几章的初稿。一般来说，他可以自由的筛选材料，一两年之后，将所完成的初稿提交大会，然后一页不漏地大声宣读，接受大家对每个证明的仔细审查，并且受到无情的批评。如果哪一位有前途，有见解的青年被注意到并被邀请参加布尔巴基的一次大会，而且能经受住讨论会上“火球般”的攻击，积极参加讨论，就自然而然被吸收为新成员，但如果他只是保持沉默，下次决不会受到邀请。布尔巴基的成员不定期更换，年龄限制在50岁以下。虽然一个过50岁的人仍然可以是一位非常好的并且极富有成果的数学家，但是他很难接受新思想，接受那些比他年轻25到30岁的人的思想。为了避免这种迟早会导致布尔巴基的分裂的紧张关系，因此一开始,就决定布尔巴基的成员都要在50岁退出。在讨论会上，短兵相接的批判与反批判，不受年龄的限制，即便两人相差20岁，也挡不住年轻的责备年纪大的，说他对这个问题什么也不懂。大家都知道正确对待这种情况的方法是一笑置之。因此，在布尔巴基的成员面前，没有人敢自夸自己是一贯正确的。有时一个题目要几易作者，第一个人的原稿被否定，由第二个人重写，下次大会上第二个人的原稿也许会被撕得粉碎，再由第三个人重新开始。从开始搞某一章到它成书在书店中发卖，其间平均需要经历8到12年。

B. 怎样评价布尔巴基学派

评价：作为一个著名的数学学派，布尔巴基（Bourbaki）近乎完美地完成了时代赋予它的在创造新数学和推动整个数学发展的任务。在某种意义下，堪称典范。

我们知道，布尔巴基诞生的背景是新兴数学分支蓬勃发展而法国数学进入衰退的时期。这种衰退或者停滞不仅仅表现在在新兴分支领域中的落后，也表现在因战争的因素而导致的数学人才的匮乏上。J. Dieudoone 在他《布尔巴基的事业》中是如此评价当时法国数学和法国数学的教育状况的：

……那时第一次世界大战刚刚结束的时候，而对于这场大战，能够肯定的说，对法国数学家而言是非常惨痛的.……在1914-1918年的大战中，德国政府和法国政府对于关系到科学问题的看法并不一致.德国政府把它们的学者派去从事科学工作，用他们的发现和对发明或者方法的改进来提升军队的战斗力。而法国政府至少在战争开始的一两年认为每一个人都应该到前线去战斗，于是法国年轻的科学家和其他的法国人一样到前线去尽他们的职责。对于这种民主和爱国的精神我们只能表示尊敬，但是其后果对于法国年轻一代的科学家来说却是一场可怕的大屠杀。当我们打开战争时期高等师范学校的学生名册时，我们就会发现巨大的断层，这表明由三分之二的学生都被战争摧毁了。这种情况对法国数学产生了非常灾难性的后果。我们这些人，当时太年轻而没有直接参加战争，但是我们在战争结束之后的几年中进入大学，本来应该由那些年轻的数学家给我指导，而他们中肯定有许多人会有远大的前途。他们就是被战争残忍摧毁了的年轻人而他们的影响也被完全地磨灭掉了。

……当然，留下来的上一代人都是我们尊敬和景仰的大学者。像毕卡、孟代尔、E.保莱尔、若尔当、勒贝格等大师，他们都还活着并且非常活跃，但是这些数学家都已接近50岁，有些人年事更高。在他们同我们之间隔着一代人。我并不是说他们没有交给我们最好的数学，我们都是听这些数学家上第一年的课程的.但是，无可争辩的是（对于任何时期也是一样的），50岁的数学家只知道他在20或者30岁时学的数学，而对他当时（即他五十岁的时期）的数学只有一些相当模糊的观念。事实上，我们对这种情况只有接受而毫无办法。

……我还记得范·德·瓦尔登（B.L.Van der Waerden,1903-1996）这本书刚出版的那天。那时我对代数无知到那种程度，以至于要是现在我就进不了大学。我急忙跑向这些书，看到这个在我面前打开的新世界我简直惊呆了。当时我的代数知识不超过预科数学、行列式以及一点方程的可解性和单行曲线。我那时已经从高等师范学校毕业，却不知道什么是理想（ideal），而且刚刚才知道什么是群！这就会使你对一个年轻的法国数学家在1930年知道些什么有一点概念……

正是出于复兴法国的数学传统以及扭转法国数学在各方面所呈现出来的不良的趋势，一批年轻的法国数学家走到了一起。

在二战后的十几年间，布尔巴基的声望达到了顶峰。《数学原理》成为新的经典，经常作为文献征引。布尔巴基讨论班的议题无疑都是当时数学的最新成就。在国际数学界，韦伊（Weil）、H.嘉当（H. Cartan）、狄奥多涅（Dieudonné）、薛华荔（Chevalley）、塞尔（Serre）、格罗登迪克（Grothendieck）等人都有着重要的影响。也正在此时，为布尔巴基确定形象的三项工作全面展开：

以布尔巴基名义发表的论文，除了一些小论文之外，最重要的两篇《数学的建筑》 和《数学研究者的数学基础》分别在1948年和1949年发表，它们实际上是布尔巴基学派的纲领和宣言，是布尔巴基学派的原始文献。同时布尔巴基的主要成员也陆续发表他们对数学、数学史和数学发展的看法。（这两篇文章非常好，推荐阅读！）

布尔巴基的主要著作《数学原理》的进一步出版。二战时，布尔巴基的《数学原理》只出版了4册。从1947年起加快了出版，10年之内又出了18册，到1959年共出了25册，基本上把“分析的基本结构”这部分出齐了。在这期间许多册还多次再版。同时布尔巴基的思想及写作风格成为青年人效仿的对象，很快地“布尔巴基的”便成为了一个专门的形容词。

布尔巴基讨论班的建立。讨论班的报告反映了当前数学的重大进展，并非只是简单的介绍，而是经过报告者的消化、吸收甚至再创造，对于掌握当前数学动向至关重要。可以说，起源于德国的这种讨论班的形式在法国已经遍地生根了。（布尔巴基讨论班似乎现在还在继续）

此外，经过两代布尔巴基成员的努力，终于把代数拓扑学、同调代数、微分拓扑学、微分几何学、多复变量函数论、代数几何学、代数数论、李群和代数群理论、泛函分析等数学领域汇合在一起，形成现代数学的主流，法国数学家在国际数学界的领袖地位也得到大家的公认。这由他们接连荣获国际数学大奖可见一斑。

1970年左右，布尔巴基大体上走向自己的反面而趋于衰微。这时，布尔巴基的奠基者们和第二代相继退出，年青一代的影响不能和老一代同日而语。数学本身也发生了巨大变化，布尔巴基比较忽视的分析数学、概率论、应用数学、计算数学，特别是理论物理、动力系统理论开始蓬勃发展，而20世纪五六十年代的重点 -- 代数拓扑学、微分拓扑学、多复变量函数论等相对平稳，数学家的兴趣更集中于经典的、具体的问题，而对于大的理论体系建设并不热衷；数学研究更加趋于专业化、技术化.20世纪70年代到80年代中期的数学显示出多样化的局面，明显的表现是在近年很少有新兴学科兴起，也无法与布尔巴基成立的时期相提并论.虽然，到了20世纪80年代中期，一种新的数学大统一的趋势又在形成，不过，这已经是在布尔巴基统一基础上更高级的统一。另一方面，许多持经典的观点的数学家根本就否定这种统一，也有相当多的人只热衷于具体的、极专门甚至琐碎的问题，很难把它们融入主流数学当中。实际上，第三代、第四代的布尔巴基也大都是某个领域的专家。从20世纪70年代起，布尔巴基讨论班的报告也反映出这种专门化和技术化的趋向。在这种情况下，20世纪70年代以来，在论文中引用布尔巴基《数学原理》的人越来越少了。
布尔巴基在教育上的失败也是影响它衰落的原因之一。由于布尔巴基的影响，在20世纪50年代到60年代出现了所谓“新数学（New Math）”运动，把抽象数学，特别是抽象代数的内容引入中学甚至小学的教科书当中。这种突然的变革不但使学生无法接受新教材，就连教员都无法理解，造成了整个数学教育的混乱。这是布尔巴基在教育方面的大失败。在高等数学教育方面，就连布尔巴基的奠基者们后来编的教科书也破除了布尔巴基的形式体系而采用比较自然、具体、循序渐进的体系.从某种意义上来讲，这是一种否定之否定，是向老传统的回归。

所以，站在现在的角度来说，作为一个曾经诞生了如此众多顶级数学家的学派，同时，也作为一个曾经实践了这样一个雄心勃勃的数学统一计划的学派，其对数学本身的贡献和对数学教育的贡献都可以用伟大来形容。

任何一个学派都是由人组成的，布尔巴基作为一个传奇的“数学家”，最终也不可避免地走向衰老，然而布尔巴基学派所提出的思想，他们的《数学原理》，以及他们为数学的统一性所做出的努力依然会影响每一位爱好数学的人。也许，当数学再一次走向统一的时候，人们会发现，这项事业的美妙起点就是布尔巴基的事业。

工作

布尔巴基成员力图把整个数学建立在集合论的基础上，尽管这一开始就遭到了许多人的反对。几十年上百年形成的代数几何学，它那大大小小的众多成果，能不能在抽象代数和拓扑的基础上构成一座严整的数学大厦，这一问题就成了布尔巴基观点的试金石。1935年底，布尔巴基的成员们一致同意以数学结构作为分类数学理论的基本原则。“数学结构”的观念是布尔巴基学派的一大重要发明。这一思想的来源是公理化方法，布尔巴基采用这一方法，反对将数学分为：分析、几何、代数、数论的经典划分，而要以同构概念对数学内部各基本学科进行分类。他们认为全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构、和拓扑结构。所谓结构就是“表示各种各样的概念的共同特征仅在于他们可以应用到各种元素的集合上。而这些元素的性质并没有专门指定，定义一个结构就是给出这些元素之间的一个或几个关系，人们从给定的关系所满足的条件（他们是结构的公理）建立起某种给定结构的公理理论就等于只从结构的公理出发来推演这些公理的逻辑推论。”于是一个数学学科可能由几种结构混合而成，同时每一类型结构中又有着不同的层次。比如实数集就具有三种结构：一种由算术运算定义的代数结构；一种顺序结构；最后一种就是根据极限概念的拓扑结构。三种结构有机结合在一起，比如李群是特殊的拓扑群，是拓扑结构和群结构相互结合而成。因此，数学的分类不再象过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是依据结构的相同与否来分类。比如线性代数和初等几何研究的是同样一种结构，也就说它们“同构”，可以一起处理。这样，他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序，以全新的观点来统一整个数学。布尔巴基学派的主要著作是《数学原理》。它对整个数学作完全公理化处理的 第一个目标是研究所谓“分析的基本结构”。这在《数学原理》中属于第i部分，

第i部分又分为：

第Ⅰ卷 集合论 第Ⅳ卷 一元实变函数

第Ⅱ卷 代数 第Ⅴ卷 拓扑向量空间

第Ⅲ卷 一般拓扑学 第Ⅵ卷 积分论

正如布尔巴基学派所言：“从现在起，数学具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具，它用单一的观点支配着广大的领域，它们原先处于完全杂乱无章的状况，现在已经由公理方法统一起来了。”“由这种新观点出发，数学结构就构成数学的唯一对象，数学就表现为数学结构的仓库。”

影响

二战前，布尔巴基只完成了《数学原理》第Ⅰ部分的第Ⅰ卷“集合论”中的一个分册—“结果”。这本还不到50页的小册子在1939年首次出版，之后于1940年出版《一般拓扑学》的第一、第二章，1942年出版第三、第四章及《代数学》的第一 章。这四本书已经反映出布尔巴基精神，而且是《数学原理》的基础。《数学原理》的各分册都是按照严格的逻辑顺序来编排的。在某一处用到的概念或结果，一定都在以前各卷、各分册中出现过。这种严格而精确的风格也有其优 点：所有主要结果都清楚而确切地表述出来，成为一个完美的体系。所以，布尔巴 基的《数学原理》以他的严格准确而成为标准参考书，并且是战后的数学文献中被人引用次数最多的书籍之一。布尔巴基学派的思想及写作风格成为青年人仿效的对象，很快地“布尔巴基的”便成了一个专门的名字就风靡了欧美数学界。比如说，众所周知，在一门科学成熟之前，名词的运用是非常混乱的，各人自用一套，而每人又有一批追随者沿袭他的用法，这就造成了互相理解的困难。凭着布尔巴基的各位大师的威望，许多数学名词，尤其是拓扑学及泛函的新词，都以布尔巴基为准。正是布尔巴基的《数学原理》使第二次世界大战以后的数学名词得到了空前的统一。随着名词的统一，使数学符号也统一起来了。数学文献中最常用的自然数集合、整数集合、有理数集合、实数集合、复数集合，都按布尔巴基的用法分别用 n、z 、q 、r、c 来表示。使布尔巴基更为出名的是他的许多成员在战前和战后的工作开始为大家所知，尤其是代数数论、代数几何学、李群、泛函分析等方面的成就。这使得布尔巴基的活动更加引人注目了。可以说，60年代中期，布尔巴基的声望达到了顶峰。布尔巴基讨论班的议题无疑都是当时数学的最新成就。在国际数学界，布尔巴基的几位成员都有着重要的影响，连他们的一般报告和著作都引起很多人注意。

在20世纪的数学发展过程中，布尔巴基学派起着承前启后的作用。他们把人类长期积累起来的数学知识按照数学结构整理成为一个井井有条博大精深的体系。他们的《数学原理》成为一部新的经典著作，还是许多研究工作的出发点与参考指南。这个体系连同他们对数学的贡献，已经无可争辩地成为当代数学的一个重要组成部分，并成为蓬勃发展的数学科学的主流。

C. 布尔巴基怎样保持创造的活力

布尔巴基有一条不成文的规定，谁要是超过50岁，就必须自动退出前台，让位给青年人。所以，布尔巴基就在成员的不断流动中，长久地保持着青年人的朝气，保持着创造的活力。事实上，布尔巴基并没有什么成文的组织章程，青年人只要具备有广博而扎实的数学素养，善于独立思考，都可以成为布尔巴基的正式成员。当然，他也必须经得起布尔巴基大会的特殊考验。布尔巴基大会每年举行两三次。在每次大会上，都要讨论《数学原本》的写作计划。会议大致确定出一卷书分多少章，每章写哪些专题后，就委派某个自愿者在会后去撰写初稿。初稿完成后，必须在大会上一字不漏的大声宣读，接受毫不留情的批评，它常常引起一场针锋相对的争论。等到争论平息下来，经过几年辛苦写成的稿子往往已被批得体无完肤，于是，再委派新的自愿者去撰写第二稿。从开始写作到书印出来，一卷《数学原本》一般都要这样重复五六次，谁也说不清它的作者究竟是谁。

D. 布尔巴基学派的衰落

利用数学结构来统一整个数学的愿望诚然很好，并且也获得巨大的成功，不过，客观世界是五花八门、千变万化的。其中特别是那些与实际关系密切，与古典数学的具体对象有关的学科及分支，很难利用结构观念一一加以分析，更不用说公理化了。而且自60年代以来，这些分支有了越来越快的发展，越发难以纳入“数学结构”的范畴之中。
正在蓬勃发展的大量组合数学问题很少能够系统化。对一个一个的具体问题进行具体分析令布尔巴基学派很头疼。他们虽能一下子解决一大批问题，但对小问题却有时无法处理。实际问题往往与计算数学有关，要通过计算机进行运算，而布尔巴基成员却对此不屑一顾。实际上，他们在这方面根本就是无能为力的。由于布尔巴基曾获得很大成就，使得“新数学”从60年代起就进入中小学数学教学，从而造成了巨大的社会问题。幼稚园的小朋友要学集合论，到中学就要教环与理想，这不仅学生吃不消，连教师也叫苦连天。这种“新数学”教育在法国、美国等国家推行一段时期后，效果明显不佳，因此有些人就迁怒于布尔巴基，形成了一股反布尔巴基的浪潮。当然，布尔巴基的数学体系常常因其极端形式化、抽象化、公理化以及脱离实际而遭到批评，还有些批评者认为布尔巴基的数学是不结果实的。实际上，这些批评是不公正的。布尔巴基的确追求形式上的严整及漂亮，但是，他们的抽象概念并不是无源之水，无本之木，他们也从来不做那些为推广而推广，为抽象而抽象的工作。不过，脱离实际的工作在当时确实存在，甚至在某些领域还颇为泛滥，于是有些人把它归咎于布尔巴基。归根结底，这是一种偏离布尔巴基的趋向。在70年代获得重大发展的是分析数学、应用数学、计算数学。用计算机证明的四色定理，成功地揭开了数学历史的新篇章，开辟了机械证明的光辉途径。同时， 与布尔巴基精神背道而驰的“构造主义”，也由一度停滞而再获新生。这样，就促使数学的发展由布尔巴基所指引的抽象的、结构主义的道路转向具体的、构造主义的、结合实际的、结合计算机的道路，从而结束了布尔巴基学派那灿烂辉煌的黄金时代。数学是年轻人的科学，只有不断注入新鲜血液才能维持数学之树常青。不过，布尔巴基学派完成了它的历史任务，并已经被送进了坟墓。可是布尔巴基的名声不可磨灭，他的遗产将永世长存！ 科学研究需要群体的力量，作为一个群体，它将博采众长.。每个成员都有各自的特长，他们可能在不同的问题上有所发现，尽管个人观点会有所偏颇，但通过集体的力量，可以弥补这一缺陷，从而使每个具体问题得到深入的研究，最终找到最满意的答案。这样就推动数学向更深、更系统的方向发展。
当然我们应该辨证的看待学派在数学发展中所产生的影响。一方面，数学已趋向社会化，他直接服务于战争，服务于经济、生产的各个部门。另外数学还与其他的许多学科（如生物学、经济学、语言学等等）结合，形成了新的分支，促进了整个国家在多个领域的发展。另一方面，学派是由一些志同道合的人组成的，他们的观点在一定程度上是相同的，因此与其他学派的观点必然存在着对立的一面，可以 说学派之间是互相排斥的。也就是说，道不同，不相为谋。这就导致了学派本身的狭隘性和保守性。从这方面讲，学派在一定程度上限制了数学取得更大的发展。

E. 布尔巴基成员取得哪些成就

从1950年到1966年，共有4位法国学者荣获菲尔兹国际数学奖，其中就有3位是布尔巴基的成员。布尔巴基的早期成员魏伊、狄多涅、嘉当等人，都已经成长为世界闻名的数学大师。也正是由于几代法国数学家长期而卓有成效的合作，布尔巴基已成为20世纪最有影响的学派之一。

F. 法国布尔巴基学派提出的序结构,代数结构和拓补结构各指的是什么

结构是布尔巴基学派看待数学的一种观点。序结构，代数结构和拓扑结构是最主要的几大类结构。

用实数举例，实数可以比较大小，也就是定义一个元素x小于或等于另一个元素y，比如记为xRy。它满足一些公理：1、对任何x，xRx；2、由xRy和yRx可以推出x=y；3、xRy且yRz推出xRz。满足这组公理的集合就被称为有序结构。

同样，实数可以加减乘除（除数不为0），所以它们满足域公理，这就是代数结构。

实数还有邻域、开集等等概念，由此可以引出极限、连续等等概念，这就是拓扑结构（即满足拓扑空间的公理）。

有些集合只有一两个结构，比如：素数集合只有序结构；整数集合没有拓扑结构；矩阵只有代数结构。

希尔伯特的几何公理也可以看成是根据结构分的，比如第二组公理就是序公理，第五组公理是拓扑公理。

G. 布尔巴基学派的工作影响

布尔巴基成员力图把整个数学建立在集合论的基础上，尽管这一开始就遭到了许多人的反对。几十年上百年形成的代数几何学，它那大大小小的众多成果，能不能在抽象代数和拓扑的基础上构成一座严整的数学大厦，这一问题就成了布尔巴基观点的试金石。1935年底，布尔巴基的成员们一致同意以数学结构作为分类数学理论的基本原则。“数学结构”的观念是布尔巴基学派的一大重要发明。这一思想的来源是公理化方法，布尔巴基采用这一方法，反对将数学分为：分析、几何、代数、数论的经典划分，而要以同构概念对数学内部各基本学科进行分类。他们认为全部数学基于三种母结构：代数结构、序结构、和拓扑结构。所谓结构就是“表示各种各样的概念的共同特征仅在于他们可以应用到各种元素的集合上。而这些元素的性质并没有专门指定，定义一个结构就是给出这些元素之间的一个或几个关系，人们从给定的关系所满足的条件（他们是结构的公理）建立起某种给定结构的公理理论就等于只从结构的公理出发来推演这些公理的逻辑推论。”于是一个数学学科可能由几种结构混合而成，同时每一类型结构中又有着不同的层次。比如实数集就具有三种结构：一种由算术运算定义的代数结构；一种顺序结构；最后一种就是根据极限概念的拓扑结构。三种结构有机结合在一起，比如李群是特殊的拓扑群，是拓扑结构和群结构相互结合而成。因此，数学的分类不再象过去那样划分成代数、数论、几何、分析等部门，而是依据结构的相同与否来分类。比如线性代数和初等几何研究的是同样一种结构，也就说它们“同构”，可以一起处理。这样，他们从一开始就打乱了经典数学世界的秩序，以全新的观点来统一整个数学。布尔巴基学派的主要著作是《数学原理》。它对整个数学作完全公理化处理的 第一个目标是研究所谓“分析的基本结构”。这在《数学原理》中属于第i部分，
第i部分又分为：
第Ⅰ卷 集合论 第Ⅳ卷 一元实变函数
第Ⅱ卷 代数 第Ⅴ卷 拓扑向量空间
第Ⅲ卷 一般拓扑学 第Ⅵ卷 积分论
正如布尔巴基学派所言：“从现在起，数学具有了几大类型的结构理论所提供的强有力的工具，它用单一的观点支配着广大的领域，它们原先处于完全杂乱无章的状况，现在已经由公理方法统一起来了。”“由这种新观点出发，数学结构就构成数学的唯一对象，数学就表现为数学结构的仓库。” 二战前，布尔巴基只完成了《数学原理》第Ⅰ部分的第Ⅰ卷“集合论”中的一个分册—“结果”。这本还不到50页的小册子在1939年首次出版，之后于1940年出版《一般拓扑学》的第一、第二章，1942年出版第三、第四章及《代数学》的第一 章。这四本书已经反映出布尔巴基精神，而且是《数学原理》的基础。《数学原理》的各分册都是按照严格的逻辑顺序来编排的。在某一处用到的概念或结果，一定都在以前各卷、各分册中出现过。这种严格而精确的风格也有其优 点：所有主要结果都清楚而确切地表述出来，成为一个完美的体系。所以，布尔巴 基的《数学原理》以他的严格准确而成为标准参考书，并且是战后的数学文献中被人引用次数最多的书籍之一。布尔巴基学派的思想及写作风格成为青年人仿效的对象，很快地“布尔巴基的”便成了一个专门的名字就风靡了欧美数学界。比如说，众所周知，在一门科学成熟之前，名词的运用是非常混乱的，各人自用一套，而每人又有一批追随者沿袭他的用法，这就造成了互相理解的困难。凭着布尔巴基的各位大师的威望，许多数学名词，尤其是拓扑学及泛函的新词，都以布尔巴基为准。正是布尔巴基的《数学原理》使第二次世界大战以后的数学名词得到了空前的统一。随着名词的统一，使数学符号也统一起来了。数学文献中最常用的自然数集合、整数集合、有理数集合、实数集合、复数集合，都按布尔巴基的用法分别用 n、z 、q 、r、c 来表示。使布尔巴基更为出名的是他的许多成员在战前和战后的工作开始为大家所知，尤其是代数数论、代数几何学、李群、泛函分析等方面的成就。这使得布尔巴基的活动更加引人注目了。可以说，60年代中期，布尔巴基的声望达到了顶峰。布尔巴基讨论班的议题无疑都是当时数学的最新成就。在国际数学界，布尔巴基的几位成员都有着重要的影响，连他们的一般报告和著作都引起很多人注意。
在20世纪的数学发展过程中，布尔巴基学派起着承前启后的作用。他们把人类长期积累起来的数学知识按照数学结构整理成为一个井井有条博大精深的体系。他们的《数学原理》成为一部新的经典著作，还是许多研究工作的出发点与参考指南。这个体系连同他们对数学的贡献，已经无可争辩地成为当代数学的一个重要组成部分，并成为蓬勃发展的数学科学的主流。